מתמטריק
חקירת פולינום 2חקירת פונקציות 571 · שיעור 19
חקירת פונקציות · 5 יחידות · שאלון 571

שיעור 19: חקירת פולינום 2

מציאת נקודות קיצון וחקירת פולינום
1📝 השאלה
2🔷 הסעיפים
📄 נוסח השאלה
שאלה: נתונה הפונקציה f(x) = x³ − 12x.
א. מצא תחום הגדרה.
ב. מצא נקודות חיתוך עם הצירים.
ג. מצא נקודות קיצון וקבע את סוגן.
ד. מצא תחומי עלייה וירידה.
ה. שרטט את הפונקציה.
🔷 הסעיפים
סעיף א: תחום הגדרה.
בפולינום אין שבר, ולכן אפשר להציב כל x.
לעומת זאת, כשיש x במכנה, אסור שהמכנה יהיה 0. למשל:
y = 1x → x ≠ 0
y = 1x − 2
x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2
✅ כל x
🔷 הסעיפים
סעיף ב: נקודות חיתוך עם הצירים.
עם ציר y מציבים x = 0:
f(0) = 0³ − 12·0 = 0 ← (0 , 0)
עם ציר x מציבים y = 0:
0 = x³ − 12x
מוציאים x כגורם משותף:
0 = x(x² − 12)
x = 0 או x² − 12 = 0
x² = 12
x = ±√12 ≈ ±3.46
✅ (0 , 0) , (√12 , 0) , (−√12 , 0)
🔷 הסעיפים
סעיף ג: נקודות קיצון וסוגן.
גוזרים ומשווים ל־0:
f'(x) = 3x² − 12 = 0
3x² = 12 ← מחלקים ב־3
x² = 4
x = ±2
מציבים בפונקציה:
f(2) = 2³ − 12·2
= 8 − 24 = −16
f(−2) = (−2)³ − 12·(−2)
= −8 + 24 = 16
מציבים בנגזרת מספר בכל תחום:
🔷 הסעיפים · המשך
מציבים בנגזרת מספר בכל תחום:
f'(−3) = 3·(−3)² − 12
= 15 > 0
f'(0) = 3·0² − 12
= −12 < 0
f'(3) = 3·3² − 12
= 15 > 0
x−3−2023
f'(x)+0−0+
f(x)↗max↘min↗
✅ (−2 , 16) נקודת מקסימום
(2 , −16) נקודת מינימום
🔷 הסעיפים
סעיף ד: תחומי עלייה וירידה.
לפי הטבלה מסעיף ג:
✅ עלייה: x < −2 , x > 2
ירידה: −2 < x < 2
🔷 הסעיפים
סעיף ה: שרטוט.
מסמנים את נקודות החיתוך ואת נקודות הקיצון, ומחברים לפי תחומי העלייה והירידה:
xy(−2,16)(2,−16)(0,0)√12−√12

📌 לזכור

💡 כשמחפשים חיתוך עם ציר x בפולינום בלי מספר חופשי, מוציאים x כגורם משותף: x(x² − 12) = 0 , ואז כל גורם שווה 0. וכשמציבים מספר שלילי בחזקה, שמים אותו בסוגריים.
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא